4 固定效应：控制了什么

本章核心判断

固定效应不是回归表格底部的装饰行。每加一组固定效应，研究者都在做两件事：把一类不可观测的混淆因素从干扰项中拿走，同时把一部分识别变异也一起拿走。好的固定效应设定，是在「控制得足够干净」和「留下的变异足够多、足够外生」之间做权衡。

第三章讨论了谁进入样本、谁被我们观察到。样本确定以后，下一个问题随之而来：处理组和对照组之间，仍然存在大量我们看不见的差异——公司文化、个人能力、地区禀赋、宏观冲击。它们不出现在数据里，却和我们关心的解释变量纠缠在一起。

本章要传达的核心信息是：不需要观测到这些变量，也可以控制它们。只要能对它们的变动方式做出假设——不随时间变、不随个体变、或者沿着某些共同因子变——组内去心、双向固定效应、高维固定效应和交互固定效应就可以依次登场。与此同时，读者还要建立另一个意识：每加一组固定效应，都是在换一次比较对象。固定效应设定，本质上是研究者在向读者声明「我在拿谁和谁比」。

4.1 一切从一张图开始：三家公司的辛普森悖论

先看一个我上课时常用的例子。横轴是公司规模（\(Size = \ln(\text{Total Assets})\)），纵轴是总资产回报率（ROA）。图图 4.1 上半部分有三家公司：左上角那家初创时规模小，ROA 相对较高；右下角那家初创时规模就很大，ROA 相对较低。这种截面上的差异，与公司所处行业、所有权属性有关——它们基本不随时间变化。

我们想研究的问题是：随着一家公司规模变大，它的 ROA 怎么变。但如果无视三家公司之间的截面差异，把所有点混在一起回归，得到的结论会是「规模越大，ROA 越低」。图的下半部分给出组内去心（de-mean）之后的结果：截面差异被减掉以后，三家公司内部的正向关系显露出来，斜率翻正。

简单的解释是：混合回归回答的是「大公司是不是比小公司 ROA 低」，固定效应回答的是「同一家公司变大以后 ROA 怎么变」。此一时，彼一时。两个问题都可以研究，但它们不是同一个问题；把前者的答案当成后者的答案，就是遗漏变量偏误。

这个例子可以用几行代码复现。数据生成过程中真实的 \(\beta = 0.5\)，但三家公司的个体效应与初始规模负相关：

*----------------- 模拟：辛普森悖论与组内去心
clear
set seed 20260706
set obs 3
gen id    = _n
gen a_i   = 12 - 3*id            // 个体效应：9, 6, 3，与规模负相关
gen size0 = 2  + 3*id            // 初创规模：5, 8, 11
expand 100
gen x = size0 + runiform(0, 4)          // Size
gen y = a_i + 0.5*x + rnormal(0, 0.8)   // DGP：beta = 0.5

reg  y x                     // 混合回归：斜率为负
areg y x, absorb(id)         // 固定效应：斜率约 0.5

*----------------- 绘图（需 ssc install binscatter2）
binscatter2 y x, n(60) by(id)              // 上图：原始数据
binscatter2 y x, n(60) by(id) absorb(id)   // 下图：组内去心

混合回归的斜率为负，areg 的斜率回到 0.5 附近。差别不在数据，而在比较对象：前者把公司之间的差异也算进了「规模的效应」，后者只使用每家公司内部的变化。

4.2 DGP 视角：三类变量与三个下标

把这个小例子引申到数据生成过程（DGP）的视角上来。我的观点是：所有我们研究的 \(y\) 都有一个潜在的数据生成过程。对面板数据而言，影响 \(y_{it}\) 的变量至少包含三类：

不随时间改变的变量 \(x_i\)：公司文化、个人性格、国家的资源禀赋、地理位置；
不随个体改变的变量 \(x_t\)：宏观冲击、货币政策、经济政策不确定性；
既随时间又随个体改变的变量 \(x_{it}\)：规模、杠杆、投资、研发。

三类变量在模型设定中体现为下标的差别。麻烦在于，\(x_i\) 和 \(x_t\) 中有大量成员是观测不到的，而它们往往又与 \(x_{it}\) 相关。以杠杆率为例，假设真实模型中所有权属性 \(SOE_i\) 影响杠杆，但我们观测不到它（或懒得放它）：

\[ \text{True: }\; Lev_{it} = \alpha + SOE_{i} + Size_{it}\beta + \varepsilon_{it}, \qquad \text{Estimate: }\; Lev_{it} = \alpha + Size_{it}\theta + u_{it} \tag{4.1}\]

只要 \(Corr(SOE_i, Size_{it}) \neq 0\)，\(\hat{\theta}\) 就是有偏的——国企普遍规模更大、杠杆更高，\(\hat{\theta}\) 里混着所有权的贡献。

固定效应模型的处理办法直接而优雅。把所有不随时间变化的因素（无论能否观测）打包进 \(\alpha_i\)：

\[ \begin{aligned} y_{it} &= \alpha_i + x_{it}\beta + \varepsilon_{it} \\ \bar{y}_{i} &= \alpha_i + \bar{x}_{i}\beta + \bar{\varepsilon}_{i} \\ y_{it} - \bar{y}_{i} &= (x_{it} - \bar{x}_{i})\beta + ({\color{red}{\alpha_i - \alpha_i}}) + (\varepsilon_{it} - \bar{\varepsilon}_{i}) \end{aligned} \tag{4.2}\]

第三行中 \(\alpha_i - \alpha_i = 0\)，这一步就是「不用观测也能控制」的全部秘密：我们没有测量 \(SOE_i\)、公司文化或者管理层风格，但只要它们不随时间变，组内去心就把它们连同 \(\alpha_i\) 一起减掉了。对去心后的数据做 OLS，得到的 \(\hat{\beta}\) 与直接在模型里放 \(N\) 个公司虚拟变量完全等价——这是 FWL 定理的一个典型应用。FWL 的一句话版本是「先剔除、再回归」与「一起回归」等价，正式表述和部分回归图留到第 6 章展开。

Stata 中至少有四种等价写法。前三种是现成命令，第四种手动去心，可以帮助确认自己真的理解了组内变换在做什么：

xtset id year
xtreg   y x, fe vce(cluster id)                //  [1]
areg    y x, absorb(id) vce(cluster id)        //  [2]
reghdfe y x, absorb(id) vce(cluster id)        //  [3]
bysort id: center y x, prefix(c_)              //  [4] 手动去心
reg c_y c_x, vce(cluster id)                   //      系数同上，标准误需调整
xtreg   y x, be                                //  对照：组间关系长什么样

四种方法的 \(\hat{\beta}\) 完全相同。顺手跑一个 xtreg, be，可以看到组间（between）关系——在辛普森悖论的例子里，它就是那条为负的混合斜率的主要来源。

4.3 TWFE 及其扩展：同质冲击假设与三条降维路径

在 \(\alpha_i\) 之外加入年份效应 \(\lambda_t\)，就得到实证中应用最广的双向固定效应模型（TWFE）：

\[ Y_{it} = \mathbf{x}_{it}'\beta + \alpha_i + \lambda_t + \varepsilon_{it} \tag{4.3}\]

为便于理解，把它写成虚拟变量的形式：

\[ Y_{it} = \mathbf{x}_{it}'\beta + \sum_{i=1}^N \alpha_i A_i + \sum_{t=1}^T \lambda_t B_t + \varepsilon_{it} \tag{4.4}\]

其中 \(A_i\) 是 \(N\) 个个体虚拟变量，\(B_t\) 是 \(T\) 个年份虚拟变量。这个写法暴露出 TWFE 隐含的一条关键假设：第 \(t\) 年的宏观冲击 \(B_t\) 对所有个体的影响都相同，均为 \(\lambda_t\)。同一次央行加息、同一次石油涨价，被假设为对每家公司施加同样的效应。这显然有点牵强——高杠杆公司和现金充裕公司对加息的反应本就不同。

如果要放开这条假设，允许宏观冲击对不同个体有异质影响，就得加入个体与时间的交互项：

\[ Y_{it} = \mathbf{x}_{it}'\beta + \alpha_i + \lambda_t + \alpha_i\lambda_t + \varepsilon_{it} \tag{4.5}\]

但这个模型的参数个数超过了样本量 \(N \times T\)，无法识别。出路是施加约束、给参数降维。实证中常见三条路径。

路径 A：变系数模型——让异质性停在更高层级。 假设宏观冲击的异质影响只存在于比个体更高的层级（如行业），把 \(\sum_i\sum_t \theta_{it}A_iB_t\) 换成 \(\sum_j\sum_t \theta_{jt}S_jB_t\)，其中 \(S_j\) 是行业虚拟变量：

\[ Y_{it} = \mathbf{x}_{it}'\beta + \alpha_i + \mathbf{g}_j\lambda_t + \varepsilon_{it} \tag{4.6}\]

这就是「行业 × 年份固定效应」，允许每个行业每年有自己的共同冲击。

reghdfe y x, absorb(id industry#year) vce(cluster id)

路径 B：个体异质趋势——让每个个体走自己的时间线。 把宏观冲击设定为个体特有的线性趋势 \(\theta_i \cdot t\)，即每个个体有自己的斜率：

\[ Y_{it} = \mathbf{x}_{it}'\beta + \alpha_i + \lambda_t + \alpha_i t + \varepsilon_{it} \tag{4.7}\]

这里 c.year 表示把年份当作连续变量处理。该设定在 DID 的稳健性检验中极常见，用来吸收处理组和对照组政策前的不同趋势。

reghdfe y x, absorb(id year id#c.year) vce(cluster id)   // 推荐，如上市公司数据
* 也可对模型做一阶差分，此时 alpha_i*t 差分后变为常数 alpha_i
xtreg D.y D.x D.(i.year), fe robust

路径 C：用可观测宏观变量替代 \(\lambda_t\)。很多时候我们关心的核心解释变量本身就是宏观变量 \(\mathbf{z}_t\)（人均 GDP、货币增速、经济政策不确定性 EPU）。此时 \(\mathbf{z}_t\) 与 \(\lambda_t\) 完全共线，必须删掉 \(\lambda_t\)：

\[ Y_{it} = \alpha_i + \mathbf{x}_{it}'\beta + {\color{red}{\mathbf{z}_t'\gamma}} + v_{it} \tag{4.8}\]

xtreg y x z1 z2, fe vce(cluster id)

问题在于，即使 \(\mathbf{z}_t\) 里放了三五个宏观变量，仍会遗漏一些重要却难测量的因素——央行的口头沟通、疫情演变。把年份效应拆成 \(\lambda_t = \mathbf{z}_t'\gamma + \mathbf{w}_t'\eta\)，我们用 \(\mathbf{z}_t\) 替代了 \(\lambda_t\)，被漏掉的 \(\mathbf{w}_t'\eta\) 就进了干扰项：\(v_{it} = \mathbf{w}_t'\eta + \varepsilon_{it}\)。只要 \(Corr(\mathbf{w}_t, \mathbf{z}_t) \neq 0\) 或 \(Corr(\mathbf{w}_t, \mathbf{x}_{it}) \neq 0\)，估计就有偏；而且 \(\mathbf{w}_t\) 是所有个体共同面对的，会造成干扰项的截面相关。

路径 C 的困境——想控制的宏观因素和想估计的宏观变量撞在同一维度——正是交互固定效应要解决的问题。这条线索我们放到本章后面专门展开。

4.4 每加一组固定效应，就换一次比较对象

上一节的三条路径已经透露出一个规律：固定效应不是越多越好，也不是随手加的。每往模型里放一组，被控制的混淆更多，剩下的识别变异也更少。关键是每一步都要能回答同一个问题：剩下的变异是什么，系数在回答什么问题。

表 4.1: 固定效应设定与比较对象的递进

设定	`absorb()`	被吸收的混淆	剩余识别变异	系数回答的问题
POLS	无	无	全部变异	公司间差异与公司内变化混在一起
FE	`id`	不随时间变的公司特征	公司内部的时间变异	同一公司变化时，\(y\) 怎么变
TWFE	`id year`	+ 同质的宏观冲击	公司内、相对当年平均的变异	相对同年其他公司，该公司的变化带来什么
行业 × 年份	`id ind#year`	+ 行业年度景气	同行业同年份内部的差异	相对同行业同年的公司，该公司的变化带来什么

表表 4.1 是本章最重要的一张表。图图 4.2 用图形方式呈现同一逻辑：固定效应逐步细化，比较对象逐步收窄。

回到本书的主线案例。Lane (2025) 的基准事件研究只用了 \(\alpha_i + \tau_t\)：产业固定效应吸收各产业的长期水平差异，年份固定效应吸收韩国制造业整体的宏观波动，剩余的识别变异是「目标产业相对非目标产业、相对 1972 年基准的差异变化」。到了跨国三重差分（DDD），固定效应结构升级为产业 × 年份、国家 × 年份、国家 × 产业三组高维交互——每一组都对应排除一类竞争性解释。这个设定我们放到本章后面的文献解读中细讲。

这里先点破一个常见误区：固定效应不能和处理变量处在同一变异层级。如果政策变量本身是「行业 × 年份」层面的（比如某行业某年是否受政策支持），再放行业 × 年份固定效应，处理变量就会被吸收殆尽——Stata 会直接把它 omit 掉，或者报告一个由残余噪声估出来的系数。这不是软件出错，而是研究者向数据要了一个自相矛盾的东西：既要控制行业 × 年份的一切共同变动，又要估计一个只在行业 × 年份层面变动的变量。

*----------------- 递进的固定效应：观察系数与比较对象一起变化
reghdfe y x, noabsorb                 vce(cluster id)
est store m1
reghdfe y x, absorb(id)               vce(cluster id)
est store m2
reghdfe y x, absorb(id year)          vce(cluster id)
est store m3
reghdfe y x, absorb(id ind#year)      vce(cluster id)
est store m4
esttab m1 m2 m3 m4, nogap s(N r2_within)

*----------------- 处理变量与固定效应同层级：被吸收
* d_jt 是行业 j 在年份 t 的政策虚拟变量
reghdfe y d_jt, absorb(id ind#year) vce(cluster ind)
* 结果：d_jt omitted because of collinearity

这条规则在第 5 章讨论 DID 时还会反复出现：DID 的处理变量 \(Treat_i \times Post_t\) 之所以能在 TWFE 下识别，正是因为它比 \(\alpha_i\) 和 \(\lambda_t\) 都「高一个层级」——它在个体 × 时间维度上变动。

4.5 HDFE：当虚拟变量多到装不下

固定效应的组数和维度一旦上去，直接放虚拟变量在计算上就不可行了。两个典型场景：一是国际贸易的引力模型，出口国 × 年份、进口国 × 年份、国家对三组固定效应动辄数万个虚拟变量；二是劳动经济学的雇主—雇员匹配数据，自 Abowd, Kramarz and Margolis (1999) 以来，研究者需要同时估计百万级的工人效应和几十万个企业效应。reg y x i.id i.firm i.year 在内存和时间上都会崩溃。

reghdfe 的解决方案是交替去心：轮流对每一组固定效应做组内变换，迭代至收敛，原理仍然是 FWL 定理的反复应用。对使用者而言，只需要把固定效应写进 absorb()：

*----------------- 三维引力模型
reghdfe y x1 x2, absorb(exp#year imp#year exp#imp) ///
                 vce(cluster exp imp)

实操上有三件事需要说明。

其一，absorb() 吸什么和 vce(cluster ) 聚类到什么，是两个独立的决定。前者由混淆结构决定（哪些不可观测因素需要控制），后者由误差相关结构决定（残差在哪个维度上相关）。二者经常不同：吸收国家对固定效应，聚类却可能放在出口国和进口国两个维度上。

其二，reghdfe 会自动剔除 singleton 观测（某组固定效应下只有一个观测的样本），因为它们对组内识别没有贡献、还会使标准误虚低。回归前后的样本量变化要在论文中交代清楚。

其三，非负因变量（专利数、贸易额、补贴金额）不要先 log(1+y) 再跑 HDFE。\(\log(1+y)\) 的系数没有清晰的弹性解释，且结果对 \(y\) 的计量单位敏感；正确做法是改用泊松伪极大似然，ppmlhdfe 在高维固定效应下依然快速稳健：

*----------------- 非负因变量：ppmlhdfe 替代 log(1+y)
ppmlhdfe patents x1 x2, absorb(id year) vce(cluster id)

Lane (2025) 处理 RCA 等非负结果变量时用的正是 PPML。有关 log(1+y) 的陷阱和 ppmlhdfe 的系数解释，扩展阅读中有三篇推文可以对照学习。

4.6 混频难题与交互固定效应

现在回到路径 C 留下的困境，把它讲透。被解释变量是公司层面的投资支出或杠杆率，下标是 \(it\)；但研究关心的核心解释变量是宏观层面的——经济政策不确定性（EPU）、货币政策——只有下标 \(t\)。想控制的宏观因素和想估计的宏观变量撞在了同一个维度上：放完整的 \(\lambda_t\)，\(z_t\) 就被吸收；删掉 \(\lambda_t\)，又会漏掉不可观测的 \(\mathbf{w}_t\)。

出路是承认 \(\mathbf{w}_t\) 不可观测，但把它设定为若干共同因子的组合，让数据自己把因子估出来。这就是交互固定效应（interactive fixed effects, IntFE）。Bai (2009) 把复合干扰项设定为因子结构：

\[ Y_{it} = \mathbf{X}_{it}'\beta + u_{it}, \qquad u_{it} = \lambda_i'F_t + \varepsilon_{it} \tag{4.9}\]

其中 \(F_t\) 是一组不可观测的共同因子（各种宏观冲击的集合），\(\lambda_i\) 是因子载荷，刻画共同冲击对不同个体的异质性影响。举个例子：央行突然宣布降准，这对所有上市公司是同一个冲击（共同因子 \(F_t\)），但高杠杆公司和现金充裕公司的反应显然不同——\(\lambda_i\) 就是在刻画「同一冲击、不同反应」，即 \(\partial Y_{it}/\partial F_t = \lambda_i\)。

理解 IntFE 的最好方式，是看清 TWFE 只是它的特例。设两个因子：

\[ F_t = \begin{bmatrix} 1 \\ \xi_t \end{bmatrix}, \quad \lambda_i = \begin{bmatrix} \alpha_i \\ 1 \end{bmatrix} \;\;\Longrightarrow\;\; \lambda_i'F_t = \alpha_i + \xi_t \tag{4.10}\]

第一个因子恒为 1，载荷是 \(\alpha_i\)，这就是个体效应；第二个因子是宏观冲击 \(\xi_t\)，载荷恒为 1——即假设冲击对所有个体的影响相同。简言之，TWFE 隐含了「宏观冲击同质」这条假设；IntFE 只是把那个「1」换成了 \(\lambda_i\)。图图 4.3 直观对比了两种设定：左侧 \(\lambda_t\) 把所有个体平移同一段距离，右侧 \(\lambda_i'F_t\) 按各自载荷伸缩。

回到混频问题，可观测的宏观变量作为解释变量、不可观测的宏观因素交给因子结构兜底，模型设定为：

\[ Y_{it} = \alpha_i + \mathbf{X}_{it}'\beta + \gamma\, epu_t + \mathbf{z}_t'\theta + \lambda_i'F_t + \varepsilon_{it} \tag{4.11}\]

这样既估计了我们关心的 \(epu_t\)，又通过 \(\lambda_i'F_t\) 控制住其余不可观测的共同冲击，最大限度地缓解了遗漏变量偏误。

4.6.1 两种估计思路

由于 \(\lambda_i\) 与 \(F_t\) 都不可观测且以乘积形式进入模型，组内去心、一阶差分、LSDV 这些传统办法一般都得不到一致估计（Bai, 2009, p.1230）。文献中有两条主流思路。

主成分两步法（Coakley et al., 2002）。 先假设共同因子与解释变量不相关，直接对 \(Y_{it} = \mathbf{X}_{it}'\beta + u_{it}\) 做混合 OLS，得到残差 \(\hat{u}_{it}\)；再对残差做主成分分析，提取得分最高的 \(r\) 个主成分作为因子估计 \(\hat{F}_t\)；最后把 \(\hat{F}_t\) 当控制变量代回：

\[ Y_{it} = \mathbf{X}_{it}'\beta + \lambda_i'\hat{F}_t + \varepsilon_{it} \tag{4.12}\]

主成分迭代法（Bai, 2009）。 Pesaran (2006) 指出，当共同因子与解释变量相关时（实际应用中非常普遍），两步法不一致。Bai (2009) 的办法是施加识别约束后，把上述两步来回迭代直至收敛，最终得到一致估计量。代价是要求面板为「大 \(N\) 大 \(T\)」结构；Bai (2009, p.1262) 的蒙特卡洛模拟表明，\(N\) 较小时估计量不一致——中国省级面板（\(N = 31\)）要谨慎。此外，因子个数 \(r\) 的选择本身是设定问题，实证中建议报告不同 \(r\) 下的结果。

4.6.2 Stata 实现

Bai (2009) 的模型在 Stata 中用 regife 命令估计（依赖 reghdfe 和 hdfe，需一并安装）。用自带的 nlswork 数据可以直观感受 FE、TWFE、IntFE 三种设定的差别：

ssc install regife, replace
webuse "nlswork.dta", clear
keep if idcode <= 100
qui xtreg ln_w tenure, fe                       // FE
est store idfe
qui xtreg ln_w tenure i.year, fe                // TWFE
est store idyearfe
regife ln_w tenure, a(id year) f(id year, 1)    // TWFE + 一维交互固定效应
est store idyearinterfe
esttab idfe idyearfe idyearinterfe, drop(*.year) nogap

------------------------------------------------------------
                      (1)             (2)             (3)
                  ln_wage         ln_wage         ln_wage
------------------------------------------------------------
tenure             0.0394***       0.0258***       0.0118*
                   (8.47)          (4.65)          (2.02)
------------------------------------------------------------

看 tenure 的系数：0.039 → 0.026 → 0.012，控制的固定效应越多，系数越小、显著性越弱。解读是：此前的估计里混着共同冲击对不同个体的异质性反应；把它剥掉以后，工作年限本身的回报没有原来看上去那么大。

需要说明的是，交互固定效应模型发展很快，除 regife 外，xtdcce2、xtmg、xtivdfreg 等命令还能允许斜率可变、加入滞后因变量或用 IV 处理内生性。有兴趣的读者可以在 Stata 中 findit interactive fixed 进一步探索。

4.7 控制的代价：慢变量的识别与建模

到这里为止，本章一直在讲固定效应的好处。现在要算代价，而且这笔代价专门砸向一类变量：制度、文化、语言、法律传统、社会信任这些随时间变化极慢、甚至几乎不变的因素。

问题的实质是，「制度水平差异」和「制度变化效应」是两个不同的 estimand，对应两个不同的问题。「制度 → 增长」这句话至少有两种读法。一种是横截面含义：制度更好的国家是不是更富？\(\log GDP_i = \alpha + \beta\, Institution_i + \gamma X_i + u_i\)，\(\beta\) 来自国家之间的长期差异。另一种是时间变化含义：同一个国家制度改善以后是不是更富？\(\log GDP_{it} = \beta\, Institution_{it} + \gamma X_{it} + \alpha_i + \lambda_t + \varepsilon_{it}\)，\(\beta\) 来自国家内部随时间的变化。制度、文化、语言这类变量高度持久，它们最主要的信息恰恰来自国家之间、族群之间的长期差异。加入国家固定效应后，模型用的是组内去心后的 \(Institution_{it} - \overline{Institution}_i\)，长期差异 \(\overline{Institution}_i\) 被 \(\alpha_i\) 整个吸走，只剩下微弱的组内波动。

所以，固定效应结果不显著，绝不等于制度没有作用。它可能只是说明模型把制度变量的大部分有效信息过滤掉了。判断的第一步永远是先看变异来自哪里：

xtset country year
xtsum institution        // 比较 between 与 within 标准差

如果 within 标准差远小于 between，说明制度变量的信息主要在国家之间。此时硬套固定效应，等于自己掐断了识别来源。

问题还不止于「变化慢」。慢变量往往和历史路径、地理条件一起形成，横截面差异并非随机分配（一国为何形成某种法律传统、宗教结构，受殖民史、地理、疾病环境影响）；制度改善与经济增长之间还可能反向因果；而制度指数多来自专家评分，其年度变化常被测量噪声主导——这正是对慢变量做一阶差分往往不是「更干净」而是「把信号变成噪声」的原因，长差分（如十年差分）通常更合适。

出路的关键，是先问清楚要回答哪个 estimand，再选模型，而不是机械地多加几个固定效应。三条最常用的路线如下。

其一，想回答长期水平差异，就用横截面或组间估计，并诚实面对内生性。xtreg y institution x1 x2, be 给出组间关系；若要谈因果，需要历史工具变量（如 Acemoglu, Johnson and Robinson (2001) 用殖民者死亡率作为当代制度的工具，Tabellini (2010) 用 19 世纪识字率作为文化的工具）或机制化识别（如 Shapiro (2025) 用国家制度质量 × 行业制度依赖度的交互，让被国家固定效应吸收的制度主效应，通过行业异质性重新可识别）。

其二，想回答制度变化效应，固定效应才和问题匹配，但慢变量宜用长差分而非一阶差分：

xtset country year
gen d10_y    = y - L10.y
gen d10_inst = institution - L10.institution
reg d10_y d10_inst i.year, vce(cluster country)

其三，想同时看清两个 estimand，用 Mundlak / CRE 把组内效应和组间效应并排展示。Mundlak (1978) 的思路是在随机效应模型里加入解释变量的个体均值 \(\bar{x}_i\)，得到两个系数：\(\beta_W\)（同一国家制度改善时 \(y\) 如何变）和 \(\beta_B\)（长期制度水平更高的国家 \(y\) 是否更高）。Stata 18 起 xtreg, cre 一行实现，并附带一个对异方差和组内相关稳健的 Mundlak 检验（可替代 Hausman 检验）：

xtset country year
xtreg y institution x1 x2 i.year, cre vce(cluster country)
estat mundlak

除这三条外，还有几类更专门的工具：Hausman and Taylor (1981) 用外生时变变量的组内均值做非时变内生变量的工具（xthtaylor），Chatelain and Ralf (2021) 为其加了内部工具的预检；动态面板中同时含滞后因变量与非时变变量时可用 Kripfganz and Schwarz (2019) 的 xtseqreg；担心全球共同冲击造成截面相关时可用 Pesaran (2006) 的 CCE（xtdcce2）。这些命令的适用边界见本章附录与扩展阅读，此处不展开——需要强调的一点是，它们回答的是不同问题，不宜笼统地都称为「稳健性检验」。

三个容易踩的坑

estimand 不一致：固定效应不显著就断言「制度没用」。正确表述是「固定效应估计的是国家内部制度变化的影响，与横截面估计的长期水平差异是两回事」。
对慢变量做一阶差分：制度年度变化很小、噪声很大，差分会放大测量误差、衰减系数。长差分更稳。
把工具都叫稳健性检验：xtreg, fe、xtreg, cre、xthtaylor、xtseqreg、xtdcce2 解决的是不同问题，混为一谈反而模糊了识别对象。

还有一类问题连长差分也解决不了：当共同冲击对各国的影响本身异质、且这种异质演化与「谁在何时改革」相关时，双向固定效应控不住。Kim and Oka (2014) 重估美国各州单边离婚法效应就是典型——他们用 Bai (2009) 的交互固定效应把州级不可观测异质性设为 \(\lambda_i'F_t\)，让数据自己估计共同因子及各州载荷，而不是由研究者钦定州别趋势的函数形式，从而调和了 Friedberg (1998) 与 Wolfers (2006) 之间的长期分歧。他们的模拟还给出一条实用法则：该放交互固定效应而没放会造成偏误，不该放而放了只损失效率。简言之，当结论对「加不加州别趋势」高度敏感时，这往往不是稳健性问题，而是模型设定问题，交互固定效应是比钦定趋势更有原则的答案。

最后交代固定效应的天花板：它只能控制「不变」或「沿共同因子变」的混淆。随时间变化的个体混淆——公司治理在样本期内改善、地方官员更替带来的政策环境变化——组内去心对它们无能为力。这正是第 5 章需要平行趋势假设、第 6 章需要 DDML 处理高维时变协变量的根本原因。

4.8 顶级期刊如何用固定效应实现识别

读一篇论文的固定效应设定，要问三个问题：各类固定效应怎么进入模型？作者用它们在排除哪一类竞争性解释？剩下的识别变异是什么？下面三篇文献覆盖了固定效应的三种角色——吸收结构声明比较对象、交互固定效应分离供求、固定效应本身成为研究对象。

4.8.1 吸收结构声明比较对象：Lane (2025)

Lane, N. (2025). Manufacturing revolutions: Industrial policy and industrialization in South Korea. The Quarterly Journal of Economics, 140(3), 1683–1741. Link, Data, Google

第 1、2 章已经介绍了这篇论文的政策背景和数据构造，这里聚焦它的固定效应设计。基准事件研究只需要 \(\alpha_i + \tau_t\)。但「目标产业增长更快」有一个显眼的竞争性解释：1970 年代重化工业在全球范围内本来就处于上升期，韩国目标产业的扩张可能只是搭了全球产业周期的便车。Lane 的回应是把比较搬到跨国面板上，做三重差分：

\[ Y_{ict} = \alpha_{it} + \tau_{ct} + \sigma_{ci} + \sum_{j \neq 1972} \beta_{3j}\,(Korea_c \times HCI_i \times Year^j_t) + \varepsilon_{ict} \tag{4.13}\]

严格设定中三组高维固定效应各司其职：产业 × 年份效应 \(\alpha_{it}\) 吸收全球每个产业每年的共同走势（直接掐灭「全球产业周期」这个解释）；国家 × 年份效应 \(\tau_{ct}\) 吸收韩国自身的宏观增长路径；国家 × 产业效应 \(\sigma_{ci}\) 吸收每个国家每个产业的长期水平。三组固定效应放齐之后，所有低阶交互项都被吸收，唯一活下来的是三重交互项 \(\beta_{3j}\)——它度量的是：韩国的目标产业，相对同年全球同产业、相对韩国自身宏观走势、相对该国该产业的长期水平，还剩下什么额外变化。固定效应结构在这里不是稳健性装饰，而是识别策略本身：吸收什么，就是在向读者声明排除了什么。

4.8.2 交互固定效应分离供给与需求：Khwaja and Mian (2008)

Khwaja, A. I., & Mian, A. (2008). Tracing the impact of bank liquidity shocks: Evidence from an emerging market. American Economic Review, 98(4), 1413–1442. Link, Google

银行信贷研究的老大难问题是供求不可分：观察到某银行对某企业的贷款下降，既可能是银行缺钱（供给），也可能是企业不想借（需求）。1998 年巴基斯坦核试验后美元存款被冻结，不同银行受到的流动性冲击差异巨大，这提供了供给侧的变异；但需求侧的混淆仍在。

Khwaja and Mian 的解法是一行固定效应。利用「同一家企业同时向多家银行借款」的贷款层面数据，在贷款变化方程中放入企业固定效应（等价于水平方程中的企业 × 时间效应）：

\[ \Delta \ln L_{ib} = \eta_i + \beta\, \Delta Liquidity_b + \varepsilon_{ib} \tag{4.14}\]

\(\eta_i\) 把企业层面的一切信贷需求变化——不管可观测还是不可观测——整个吸掉。剩余的识别变异是：同一家企业、同一时点、面对不同银行的贷款变化差异。既然企业是同一个，需求就是同一个，剩下的差异只能来自银行。他们发现受冲击更重的银行对同一企业的放贷收缩显著更多，且小企业无法从其他银行找到替代融资。这套「firm × time FE」设计后来成为银企贷款、供应商—客户、医生—患者等一切多对多匹配数据的标准识别模板，文献中直接以「Khwaja–Mian 设定」相称。

4.8.3 固定效应本身成为研究对象：Bonhomme et al. (2023)

Bonhomme, S., Holzheu, K., Lamadon, T., Manresa, E., Mogstad, M., & Setzler, B. (2023). How much should we trust estimates of firm effects and worker sorting? Journal of Labor Economics, 41(2), 291–322. Link, PDF, Google

在 AKM 传统中，固定效应完成了一次身份转换：\(\ln w_{it} = \theta_i + \psi_{J(i,t)} + \mathbf{x}_{it}'\beta + \varepsilon_{it}\) 里的工人效应 \(\theta_i\) 和企业效应 \(\psi_j\) 不再是待消除的干扰，而是研究对象本身——用它们做方差分解，可以回答「工资不平等有多少来自企业间的支付差异、有多少来自工人与企业的匹配分选」。基于这一模型的两个著名结论是：企业效应约占对数工资方差的 20%；工人效应与企业效应的相关系数很小甚至为负，即高工资工人并没有向高薪企业集聚。

Bonhomme 等人 2023 年的这篇论文对这两个结论做了系统的体检。问题出在识别来源上：企业效应的识别完全依赖工人在企业间的流动，而现实中流动有限（limited mobility）。当每家企业的流动工人很少时，\(\hat{\psi}_j\) 噪声很大，其样本方差机械性偏大、与工人效应的相关系数机械性偏小——固定效应估出来了，不等于估准了。作者用美国和多个欧洲国家的雇主—雇员数据，比较固定效应偏误校正与随机效应分组两类方法，发现有限流动偏误相当严重：校正后，企业效应对工资方差的贡献大幅缩水（如挪威样本从近 20% 降至 10% 左右），而工人分选变为一致为正且通常很强。对本章的启发有两层：固定效应可以从「控制项」升格为「估计目标」；而一旦升格，它的抽样误差就不能再被忽略——这与我们平时只关心 \(\hat{\beta}\)、把 \(\hat{\alpha}_i\) 弃之不顾的场景，是完全不同的统计问题。作者提供了配套的 Stata 与 Python 校正程序包。

4.8.4 一个预告：从控制到反事实

交互固定效应还有另一重身份。既然 \(\lambda_i'F_t\) 能把处理组结果变量的「正常轨迹」拟合出来，它自然也能用来回答「没有政策会怎样」：用政策前数据估计因子结构，外推到政策后，就得到处理组的反事实路径。Hsiao, Ching and Wan (2012) 评估香港回归的回归控制法、Gobillon and Magnac (2016) 对法国企业区政策的评估、Xu (2017) 的广义合成控制法，以及 Arkhangelsky et al. (2021) 的合成 DID，都建立在这个思想上。从这个角度看，固定效应家族的演进，本质上是在设定越来越细致的条件期望——这与树模型、随机森林拟合条件期望的思路，在深层逻辑上是相通的。完整讨论放在第 5 章。

4.9 扩展阅读

以下推文按主题分组，供课后延伸。

固定效应基础

HDFE 与 PPML

左志勇, 2022, Stata：三维引力模型介绍与估计-ppmlhdfe-nbreg-reghdfe
胡煊翊, 2022, Stata：为什么计数类变量不宜采用log(1+y)的形式？-ppmlhdfe
连小白, 2026, ppmlhdfe 实证指南：系数解释、固定效应与聚类标准误
连小白, 2026, 三维 PPML 引力模型的偏误校正：从 ppmlhdfe 到 ppml_fe_bias
连小白, 2026, 非负因变量如何做 DID？从 log(1+y) 到 PPMLHDFE
林芷涵, 2026, PPML 估计 + 一般均衡求解？ge_gravity2 一套 Stata 命令全搞定

交互固定效应

王晓娟, 甘徐沁, 2021, regife：面板交互固定效应模型-Interactive Fixed Effect

慢变量与非时变变量的估计

吕可夫, 2021, Stata：如何估计包含非时变变量的动态面板模型-xtseqreg
李姣, 2026, xthbtest：面板固定效应模型斜率异质性偏差检验

诊断、检验与变量筛选

黄涵麟, 2021, ocmt：高维固定效应模型的变量筛选问题
罗兰若, 2022, Stata论文复现：高维线性回归的变量筛选-baing-ocmt
黄钊琳, 2021, locmtest：非线性模型的内生性检验

4.10 附录：慢变量与非时变变量的方法工具箱

下表按 estimand 归纳常用方法及其 Stata 实现，供研究者对照选择。核心原则是：先判断要回答的是长期水平差异还是制度变化效应，再选方法；不同行回答的是不同问题，不能互相替代。

方法	Stata	回答的问题
横截面 OLS / 组间估计	`reg` / `xtreg, be`	长期制度水平差异
固定效应 / 长差分	`xtreg, fe` / `reghdfe`；手工 `L10.` 差分	制度变化效应（长差分更适合慢变量）
Mundlak / CRE	`xtreg, cre` + `estat mundlak`	同框展示组内效应 \(\beta_W\) 与组间效应 \(\beta_B\)
Hausman–Taylor / 预检	`xthtaylor`	非时变内生变量与个体效应相关时的系数估计
动态面板非时变变量	`xtseqreg`	滞后因变量 + 非时变解释变量
历史工具变量	`ivregress 2sls` / `ivreghdfe`	制度、文化长期形成的内生性
DID / 事件研究	`xtdidregress` / `csdid`	明确的制度改革冲击
交互固定效应 / CCE	`regife` / `xtdcce2`	异质共同冲击、截面相关

R 中对应 plm（be/within/fd/pht/pcce）与 fixest；Python 中对应 linearmodels。命令不是难点，问题定义才是难点。

4.11 从本章走向第五章

本章控制的都是「不变」或「沿共同因子变动」的混淆：不随时间变的进 \(\alpha_i\)，不随个体变的进 \(\lambda_t\)，异质性宏观冲击进 \(\lambda_i'F_t\)。这套工具的共同前提是，混淆的变动方式可以被某种结构性假设约束住。

当政策有明确的时点和处理组、我们要回答的是「没有政策会怎样」时，问题就从「控制混淆」升级为「构造反事实」：处理前趋势是否平行？对照组应该如何加权？分批推进的政策会不会让 TWFE 做出坏的比较？这些是第 5 章 DID、DDD、事件研究与合成控制法的内容。

最后回到本书反复强调的一个意识：并不是只有拿到完美数据，才能识别政策效应。很多不可观测的变量，只要能假设它们随时间变化很慢、或随个体基本不变，我们都有相应的手段去控制。估计政策效应本身就是一个设定条件期望的过程，多数估计量本来就是局部效应，没有人能承诺得到全局的、个体层面的政策效果。把这一点想明白，论文估计完成之后的讨论环节就可以清晰地界定结论边界——这也堵住了审稿人攻击我们的很多入口。