5 反事实构造
政策评估的关键在于，为处理组构造一个可信的「没有政策时的结果」，即「反事实结果」。不同识别策略的差别，首先是反事实来源不同：时间中断分析用处理组自己的政策前趋势，DID 用对照组的变化，RDD 用门槛附近另一侧的局部单位，DDD 用另一个 DID 修正额外差异，合成控制法用多个控制单位的加权组合，RCM / GSC 用潜在因子结构预测，SDID 同时调整单位权重和时间权重。
本章主要介绍各类反事实构造方法的基本思想，实现代码和细节参见本章 附录 F。
在政策评估中，我们最容易看到的是政策发生之后处理组发生了什么。真正看不到的是：如果没有这项政策，处理组本来会怎样。
本章围绕 Abadie et al. (2010) 文中的经典案例。加州于 1989 年通过 Proposition 99 法案大幅提高烟草税并资助控烟项目，此后加州人均香烟消费持续下降。但下降本身不是政策效果。政策效果是「真实的加州」与「没有这项政策的加州」之间的差距，而后者是看不见的。本章所有方法，都是在回答同一个问题：拿什么来代表这个看不见的加州？
5.1 政策效果是一个看不见的差
先把问题写清楚。记处理组(加州)在政策后某期 \(t\) 的两个潜在结果：\(Y_{1t}(1)\) 是接受政策后的结果，\(Y_{1t}(0)\) 是同一时点若没有政策的结果。政策效果为
\[ \tau_{1t} = Y_{1t}(1) - Y_{1t}(0) \tag{5.1}\]
其中 \(Y_{1t}(1)\) 可以观测到——它就是加州政策后实际观测到的香烟消费；\(Y_{1t}(0)\) 看不见——加州只有一个，它要么接受政策、要么不接受，不可能同时观测到两种状态。这就是因果推断的根本困难：缺失的从来不是数据，而是反事实。
图 图 5.1 把这个缺口画了出来。黑色粗线是加州；浅色细线是其他 38 个州(donor pool)；绿色线是 38 个州的平均值。这张图适合作为理解反事实的入口。政策发生以后，加州的香烟消费下降了。问题是：这个下降是不是 Proposition 99 的效果？
仅仅看到加州政策后下降，还不能回答这个问题。因为加州的香烟消费即使没有政策，也可能因为全国控烟观念变化、烟草价格变化、人口结构变化或长期下降趋势而减少。我们需要知道的是：如果没有 Proposition 99，加州在 1989 年以后会沿着哪条路径走？
从这张图中，可以引出几种朴素的反事实构造方式。
第一，可以用加州自己的政策前趋势外推政策后路径。这是时间中断分析的直觉。若政策前加州香烟消费一直沿着某条趋势下降，那么没有政策时，它可能继续沿着这条趋势变化。
第二，可以用其他州的平均变化代表加州没有政策时的变化。如果只看 1975 年以后，加州和其他州均值的走势似乎比较接近，且二者之间的差异比较稳定。若没有 Proposition 99，加州与其他州之间的差异可能不太会发生明显变化，我们可以基于这种差异构造加州的反事实。这是 DID 的直觉。
第三，如果其他州的简单平均不能代表加州，就可以从其他州中选择若干州，并给它们不同权重，拼出一个更像加州的「合成加州」。这是合成控制法的直觉。
5.2 用自己的过去预测自己：时间趋势外推
最朴素的想法是只看加州自己(图 图 5.2)。如果没有政策，加州香烟消费大概会沿着政策前的趋势继续走。于是用 1970–1988 年的数据拟合一条趋势线，外推到 1989 年以后，就得到一条「无政策的加州」路径；真实路径与外推路径之间的差，就是估计的政策效果。这就是中断时间序列分析(interrupted time series analysis, ITSA)与趋势外推的直觉。
这个方法的可信度完全押在一个假设上：政策前的趋势，若没有政策会原样延续到政策后。它的脆弱性也在这里。趋势用线性还是二次、政策前窗口取多长、政策前后有没有其他同步冲击(比如全国性的烟草诉讼、经济周期)，都会改变外推路径。更微妙的是，如果政策在正式生效前已被预期(商家提前调价、消费者提前囤货)，政策前趋势本身就被污染了，外推的基准不再干净。
ITSA 的价值在于它极其透明地暴露了反事实构造的本质：我们必须为「没有政策会怎样」写下一个明确的模型。它的局限也很直白：只用了处理组自己的信息，一旦政策期恰好赶上别的变化，就无从分辨。自然地，我们会想到借助外部信息——其他没有实施政策的州。
5.3 用其他州的变化代表加州：DID 的反事实
双重差分(DID)换了一个思路：不用加州自己的过去，而用其他州的同期变化，来代表加州「没有政策时本会发生的变化」。逻辑是：其他州没有 Proposition 99，如果加州没有政策，它的消费变化应该和其他州差不多。于是用加州的政策前水平，加上其他州从政策前到政策后的平均变化，拼出加州的反事实：
\[ \widehat{Y}_{CA,t}(0) = Y_{CA,t_0} + \left(\overline{Y}_{Other,t} - \overline{Y}_{Other,t_0}\right) \tag{5.2}\]
相应的 DID 估计量是
\[ \widehat{\tau}^{DID} = \left(Y_{CA,t} - Y_{CA,t_0}\right) - \left(\overline{Y}_{Other,t} - \overline{Y}_{Other,t_0}\right) \tag{5.3}\]
这里有一个值得点破的连接：式 5.2 减掉的那一项 \(\overline{Y}_{Other,t} - \overline{Y}_{Other,t_0}\)，正是第四章的年份效应 \(\lambda_t\) 的经验对应物。DID 的全部内容，就是假设这个 \(\lambda_t\) 对处理组和对照组是同一个——也就是平行趋势假设：两组的时变混淆以相同方式演化。换句话说，DID 允许两组有第四章意义上的固定水平差异 \(\alpha_i\)(加州本来就和别的州不一样)，但要求它们的时间变化路径平行。DID 就是「TWFE 加上一个识别假设」，而不是一个全新的东西。
DID 在加州案例里暴露出两个关键局限：
第一，平行趋势不是抽象假设，它和样本窗口深度绑定。 如果只看 1975 年以后，加州和其他州的趋势看起来比较接近；但若从 1970 年一直看到 1988 年，两者的长期趋势并不平行。同一批数据，换一个政策前窗口，平行趋势的可信度就变了。这提醒我们：平行趋势的「检验」在很大程度上取决于你选择让读者看多长的历史。
第二，只有一个处理对象时，传统的大样本推断很困难。 加州案例里处理组只有一个州。即便能算出一个 DID 点估计，也没有「许多处理单位」让我们依赖传统渐近理论去构造标准误和做假设检验。后面要讲的合成控制法之所以要用安慰剂检验、置换检验来做推断，根源就在这里。
DID 的反事实靠「找到一个趋势可比的对照组」。但其他州的简单平均未必像加州——加州人口结构、收入、烟价都和蒙大拿、内华达不同。能不能不满足于「找现成的对照组」，而主动去「拼一个更像加州的对照」？这是本章的转折点。在转过去之前，先插一段不同维度的反事实——RDD。
5.4 插叙：在门槛附近寻找反事实——RDD 的局部比较
前面的方法都在时间维度上构造反事实：用过去，或用别人的同期变化。断点回归(RDD)提供了另一种维度的反事实——截面近邻。
先顺着加州案例做一个「可能但不理想」的设想。假如我们有微观、高频数据(比如每天的烟草零售记录)，就可以把 1989 年 1 月 1 日政策生效当作一个门槛，比较生效日前后很短窗口内的消费。生效前 5 天和后 5 天的市场状况几乎相同，唯一的区别是政策有没有生效——这接近断点的思路。
但马上就能看出为什么加州年度州级数据不适合这么做：年度数据太粗，政策若提前公布会引发提前调整，生效日附近还夹杂季节性、价格波动、替代品转移。RDD 需要的是运行变量上足够密集、且门槛无法被精确操纵的数据。这个反差恰好点明了 RDD 的特征：它既不靠长期时间趋势，也不靠寻找远处的对照组，而是在门槛(cutoff)附近，用刚好没跨过门槛的一侧，代表刚好跨过门槛的一侧的反事实。
形式上，设运行变量 \(R_i\)，处理由是否越过门槛 \(c\) 决定：
\[ D_i = \mathbf{1}\{R_i \ge c\}, \qquad \tau_{RDD} = \lim_{r \downarrow c} E[Y_i \mid R_i = r] - \lim_{r \uparrow c} E[Y_i \mid R_i = r] \tag{5.4}\]
门槛两侧的单位在其他方面近似可比，唯一系统差异是处理状态，因此门槛处结果的跳跃就是局部处理效应。真正适合 RDD 的是那些「规则制造了处理强度跳跃」的场景，两个经典例子：Angrist and Lavy (1999) 利用以色列的 Maimonides 规则——班级人数一旦超过 40 人就必须拆班，于是班级规模在阈值处不连续跳变，用来识别班级规模对学生成绩的影响；Lee (2008) 利用美国众议院选举中「刚好险胜」与「刚好惜败」的候选人在门槛附近近似随机分配，识别在位优势对下届选举的影响。
必须强调，RDD 识别的是门槛附近的局部效应，不能外推到远离门槛的人群；它的实操还涉及带宽选择、局部多项式、密度操纵检验、协变量连续性等一整套技术，这些放在第七章的扩展阅读与本章附录中，此处不展开。RDD 的反事实来自截面近邻。现在回到面板，继续追问那个转折性的问题：能不能主动构造一个更像加州的对照组？
5.5 从被动寻找对照到主动构造对照
到这里，可以把前面的方法归拢一下。ITSA 的反事实来自处理组自己的过去；DID 来自对照组的同期变化；RDD 来自门槛另一侧的近邻。它们有一个共同点——都比较被动：研究者要么依赖处理组自身的趋势稳定，要么依赖恰好存在一个趋势可比的对照组或一个可用的门槛。
接下来的三种方法转向主动构造反事实：合成控制法(SCM)用 donor pool 中若干控制单位的加权组合，拼出一个更像处理组的合成对象；广义合成控制/回归控制法(RCM/GSC)用因子结构预测处理组的无政策路径；合成 DID(SDID)则同时在单位和时间两个维度上加权。
这个转折背后是一条贯穿全书的暗线，值得在这里点破。第四章到本章前半段，我们做的都是减法：FWL 和固定效应把混淆减掉，DID 把共同的年份效应 \(\lambda_t\) 减掉。而从 SCM 开始，思路转向预测：不再满足于减去一个现成的对照，而是主动用模型把 \(Y(0)\) 预测出来。减法依赖「有一个干净的东西可减」，预测依赖「有一个可信的模型能外推」。第七章的 DDML 会把这条预测线推到极致——用机器学习预测处理和结果的条件期望。遗漏变量、反事实、双重机器学习，本质上都是在估计条件期望，区别只在于用减法还是用预测。 把这条暗线记住，后面的方法就不是零散的工具，而是同一种思维的不同实现。
主动构造更灵活，但天下没有免费的午餐：越精巧的构造，通常越依赖额外的假设、数据质量或模型结构。下面逐一来看。
5.6 用多个州拼出加州：合成控制法
DID 用其他州的简单平均，问题是「平均」未必像加州。合成控制法(Abadie et al., 2010)不让每个州等权，而是给 donor pool 里的州分配权重，让加权组合出来的「合成加州」在政策前尽量贴近真实加州。
设处理组为 \(j=1\)，donor pool 为 \(j=2,\ldots,J+1\)，权重为 \(W=(w_2,\ldots,w_{J+1})'\)。合成控制法用：
\[ \widehat{Y}_{1t}(0)=\sum_{j=2}^{J+1}w_jY_{jt}, \qquad w_j \ge 0, \quad \sum_{j \in Donor} w_j = 1 \tag{5.5}\]
估计处理组没有政策时的结果。政策效果为：
\[ \widehat{\tau}_{1t}=Y_{1t}-\widehat{Y}_{1t}(0) \tag{5.6}\]
政策前让合成加州逼近真实加州(在结果变量和若干预测变量上都尽量匹配)，政策后二者的差距就解释为政策效果。
Stata 实现代码如下：
use https://github.com/scunning1975/mixtape/raw/master/smoking.dta, clear
xtset state year
synth2 cigsale lnincome age15to24 retprice beer(1984(1)1988) ///
cigsale(1988) cigsale(1980) cigsale(1975), ///
trunit(3) trperiod(1989) xperiod(1980(1)1988) ///
fig nested allopt在加州案例中，合成控制法从 38 个州里挑出 5 个、分配了非零权重：犹他 0.334、内华达 0.235、蒙大拿 0.202、科罗拉多 0.161、康涅狄格 0.068，其余 33 个州权重为零。图 图 5.3 把这 5 个州高亮出来——所谓「合成加州」，就是这几条线按上述权重的加权平均。这张图是理解 SCM 的关键：抽象的「凸组合权重」在这里变成了「三分之一个犹他加四分之一个内华达……」这样具体的配方。
图 图 5.3 里两个权重约束——非负、且加总为一——不只是为了求解方便，它们有实质含义：合成对象被限制在 donor pool 的凸包内，这提升了可解释性、避免了危险的外推(合成加州不会是某个州的数倍或负数)。代价是牺牲了拟合的灵活性：如果真实的反事实加州根本不在这些州的凸组合能覆盖的范围内，政策前就会拟合不好。而政策前拟合的好坏，是 SCM 可信度的生命线——拟合不好，政策后的差距就无法归因于政策。
SCM 把识别的压力从 DID 的「平行趋势」转移到了三处：donor pool 的构成(对照州本身不能受类似政策污染)、权重与预测变量的选择(结果对此敏感)、以及政策前拟合的质量。推断上，因为只有一个处理单位，SCM 依赖安慰剂/置换检验：把每个对照州轮流当作「假处理组」跑一遍，看真实加州的政策后差距是否显著大于这些安慰剂。合成控制法完整的加州复现——synth2 命令、预测变量平衡表、合成加州拟合图与处理效应图——放在本章附录 F。
5.7 用因子结构预测反事实：RCM / GSC
合成控制法在 donor pool 里找权重。回归控制法与广义合成控制(RCM/GSC)换了一条路：它们不找权重，而是用未处理样本学习一个因子结构，再用这个结构预测处理组的无政策路径。这里正好接上第四章的交互固定效应。
还记得第四章的 \(\lambda_i'F_t\) 吗？在那里我们用它吸收异质的共同冲击(同一次降准，高杠杆和低杠杆公司反应不同)；在这里，我们用同一个结构预测反事实：
\[ Y_{it}(0) = \alpha_i + \lambda_t + \Gamma_i'F_t + \varepsilon_{it} \tag{5.7}\]
\(F_t\) 是驱动所有州香烟消费的共同因子(全国控烟舆论、经济周期、代际偏好变迁),\(\Gamma_i\) 是各州对这些因子的暴露程度。政策前，用未处理的州学习出 \(F_t\) 和各单位的载荷；政策后，用加州自己的载荷乘以估计出的因子，预测「没有政策的加州」。控制与反事实，是一体两面：第四章把 \(\lambda_i'F_t\) 当作要清除的干扰，本章把它当作要利用的预测结构。
RCM 与 SCM 的差别，恰好又是第四章那个「约束 vs 灵活」的权衡在另一个层面的再现。SCM 要求权重非负且加总为一(凸组合);RCM 放开了这个约束——它可以给某个州负载荷，可以带截距，预测目标是拟合优度而非凸包内的相似性，还可以借助 Lasso 等正则化在众多潜在预测单位中做筛选、防止过拟合。放开约束换来了更强的拟合与外推能力，代价是可解释性下降(负权重不好讲故事)，以及对模型结构设定的依赖更重。
一个直观的例证：在加州数据上，合成控制法(凸组合)选出犹他、内华达、蒙大拿、科罗拉多、康涅狄格；而 Lasso 型的方法在放开约束后，选出的州与之部分重叠(同样偏爱蒙大拿、内华达、犹他)、但不完全相同，而且允许出现负系数和一个非零截距。同一份数据、同一个处理组，约束松一档，反事实的配方就换了一副面孔。这不是谁对谁错，而是两种构造哲学的取舍。RCM 的加州复现、Lasso 型合成控制与选参数细节，同样放在附录 F。
5.8 同时给单位和时间加权：SDID
走到这里，SCM 解决了「哪些控制单位更像加州」。但还有一个维度没被利用：政策前的每一年，并不同等重要。距离政策发生更近的年份，对预测政策后的反事实往往更有信息；而 1970 年的加州和 1988 年的加州，对「1989 年若无政策会怎样」的参考价值显然不同。合成 DID(SDID, Arkhangelsky et al., 2021)把这个维度也纳进来：同时给单位和时间加权。
用一个统一的目标函数最能看清 DID、SC、SDID 三者的关系(推导与权重求解见附录 F):
\[ \widehat{\tau}^{sdid} = \underset{\tau,\mu,\alpha,\beta}{\arg\min} \left\{ \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \left(Y_{it} - \mu - \alpha_i - \beta_t - W_{it}\tau\right)^2 \, {\color{red}{\widehat{\omega}_i}} \, {\color{blue}{\widehat{\lambda}_t}} \right\} \tag{5.8}\]
三种方法就是这一个式子的不同特例：
- 传统 DID 把 \(\widehat\omega_i\) 和 \(\widehat\lambda_t\) 都设为常数——所有对照单位等权、所有时期等权，于是需要平行趋势假设，用简单平均估计 ATT;
- SC 只有单位权重 \(\widehat\omega_i\)、没有时间权重，且不含个体效应 \(\alpha_i\)——它在截面上让合成对象贴近处理组，从而绕开平行趋势；
- SDID 两个权重都有，同时保留双向固定效应 \(\alpha_i + \beta_t\)——它让 DID 的固定效应变得更「局部」：把更多权重放在与加州更像的州，以及与政策期更相关的年份上。
关于时间权重有一个容易讲错的地方，这里说准确：\(\widehat\lambda_t\) 通常会让与处理期更相关的政策前时期获得更高权重，但它不是机械地「离政策越近权重越大」，权重由数据在最小化政策前拟合误差时决定。
三种方法在加州数据上给出的处理效应数值并不相同——这恰恰是本章最想让学生体会的一点。DID 约 −27、SC 约 −20、SDID 约 −16(单位为每人每年包数，口径和推断细节见附录 F)。数值差异不是「谁算错了」，而是三种反事实构造方式的直接后果：DID 用等权平均，受长期趋势不平行的拖累最大；SC 用截面加权贴近；SDID 再叠加时间加权。图 图 5.4 展示了 SDID 的输出——上半部分是真实加州与合成加州的走势对比，底部的柱状则显示各政策前年份被分配的时间权重，直观呈现「哪些年份更有信息」。
SDID 把 DID 的固定效应、SC 的单位加权、以及时间加权熔于一炉，在许多场景下兼顾了稳健与精度。但它同样不是万能钥匙：它仍然依赖足够的政策前时期、质量过关的对照组、以及面板结构本身。当处理组极少、政策前太短、或对照组普遍受政策污染时，再精巧的加权也救不回来。
下图直观地反映了 SDID 的估计思路：
5.9 反事实构造没有免费的午餐
把六种方法放在一起，可以清楚看到它们其实是沿着「反事实从哪里来」这一个问题分布的光谱，各自把识别的压力放在不同的假设上。
| 方法 | 反事实来源 | 主要优势 | 主要代价(压力所在) |
|---|---|---|---|
| ITSA | 处理组自身政策前趋势 | 不需要外部对照组 | 趋势设定、政策前窗口、同期冲击、提前反应 |
| DID | 对照组同期变化 | 直观、易解释 | 平行趋势、对照组选择、单一处理组的推断 |
| RDD | 门槛另一侧的截面近邻 | 门槛附近可比性强 | 仅识别局部效应、门槛不可被精确操纵 |
| SCM | donor pool 加权组合 | 主动构造相似反事实、防外推 | donor pool 纯净性、权重与预测变量、政策前拟合 |
| RCM/GSC | 潜在因子结构预测 | 更灵活、可处理异质共同冲击 | 模型结构设定、过拟合、可解释性 |
| SDID | 单位权重 + 时间权重 | 融合 DID 与 SC、兼顾稳健与精度 | 政策前长度、对照组质量、面板结构 |
表 5.1 是本章的落点，它给出一个明确的方法选择原则：
DID 把压力放在平行趋势上；RDD 把压力放在门槛附近的连续性与不可操纵性上；SCM 把压力放在 donor pool 与政策前拟合上；RCM 把压力放在因子结构上；SDID 把压力放在单位权重、时间权重与面板结构上。方法选择不能看哪个估计结果更显著，而要看这些假设在你的具体政策背景中是否站得住。
这一原则与第四章一脉相承。第四章说，每加一组固定效应都是在声明「我在拿谁和谁比」；本章说，每选一种反事实构造，都是在声明「我用什么代表看不见的 \(Y(0)\)」，以及「我愿意为此背负哪一个假设」。两章合起来，构成了政策评估的两个基本自问。
5.10 从本章走向第六章
本章只回答了「反事实是什么、可以怎样构造」，刻意没有展开一个问题：当研究设计确定为 DID 之后，具体该用哪一个 DID 估计量？现实中的政策往往不是加州这样「一个州、一个时点」的干净情形，而是不同地区在不同年份陆续实施(交错处理)，且处理效应在个体间、时间上都不同质。此时传统的双向固定效应 DID 会遭遇「坏比较」——用已处理单位充当尚未处理单位的对照，产生带负权重的污染。
Goodman-Bacon 分解揭示了这个问题之后，一批新估计量应运而生：Callaway–Sant’Anna 的 csdid、Sun–Abraham、Borusyak–Jaravel–Spiess 的插补法、did2s、did_multiplegt_dyn 等。第六章要回答的就是：在你自己的研究场景里，到底该选哪一种？能否综合使用两三种相互印证？不同方法结果不一致时又该如何解读？那里也会把三重差分(DDD)作为一种识别设计系统展开——第四章我们已经见过它在 Lane (2025) 里的高维固定效应吸收结构，本章见过它作为「用一个 DID 修正另一个 DID」的反事实直觉，第六章则讲它的估计量选择。
5.11 参考文献
Abadie, A., Diamond, A., & Hainmueller, J. (2010). Synthetic control methods for comparative case studies: Estimating the effect of California’s tobacco control program. Journal of the American Statistical Association, 105(490), 493–505. Link, PDF, Google.
Arkhangelsky, D., Athey, S., Hirshberg, D. A., Imbens, G. W., & Wager, S. (2021). Synthetic difference-in-differences. American Economic Review, 111(12), 4088–4118. Link, PDF, Google.
Angrist, J. D., & Lavy, V. (1999). Using Maimonides’ rule to estimate the effect of class size on scholastic achievement. The Quarterly Journal of Economics, 114(2), 533–575. Link, PDF, Google.
Ciccia, D. (2024). A short note on event-study synthetic difference-in-differences estimators. arXiv:2407.09565. Link, PDF, Google.
Clarke, D., Pailañir, D., Athey, S., & Imbens, G. (2024). On synthetic difference-in-differences and related estimation methods in Stata. The Stata Journal, 24(4), 557–598. Link, PDF, Google. github
Lee, D. S. (2008). Randomized experiments from non-random selection in U.S. House elections. Journal of Econometrics, 142(2), 675–697. Link, PDF, Google.
Yan, G., & Chen, Q. (2022). rcm: A command for the regression control method. The Stata Journal, 22(4), 842–883. Link, PDF, Google.
Yan, G., & Chen, Q. (2023). synth2: Synthetic control method with placebo tests, robustness test, and visualization. The Stata Journal, 23(3), 597–624. Link, PDF, Google.